Números perfectos

Se dice que dos números son amistosos (es decir, amistosos) si cada uno de ellos es igual a la suma de los apropiado divisores de los demás (es decir, números enteros menores que los números dados que dividen el número dado sin resto). Por ejemplo, 220 tiene los divisores propios 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. La suma de estos divisores es 284. Los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142. Su suma es 220; entonces 220 y 284 son amistosos. Este es el par más pequeño de números amistosos.

El descubrimiento de números amistosos se atribuye al filósofo griego neo-pitagórico Iamblichus de Calcis (c. 250-330 dC), quien atribuyó a Pitágoras (582-500 aC) el conocimiento original de su naturaleza. Los pitagóricos creían que los números amistosos, como todos los números especiales, tenían un profundo significado cósmico. Algunos creen que una referencia bíblica (un regalo de 220 cabras de Jacob a Esaú, Génesis 23:14) indica un conocimiento anterior de los números amistosos.

Los matemáticos europeos no descubrieron pares de números amistosos distintos de 220 y 284 hasta 1636, cuando el matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) encontró el par 18, 496 y 17, 296. Un siglo después, el matemático suizo Leonhard Euler (1707) –1783) hizo una búsqueda exhaustiva y encontró alrededor de 60 pares adicionales. Sorprendentemente, sin embargo, pasó por alto el par más pequeño después de 220 y 284, que es 1184 y 1210. Posteriormente fue descubierto en 1866 por un chico de 16 años, Nicolo Paganini.

Durante el período medieval, los matemáticos árabes conservaron y desarrollaron el conocimiento matemático de los antiguos griegos. Por ejemplo, el erudito Thabit ibn Qurra (836–901) formuló una regla ingeniosa para generar pares de números amistosos: Sea a = 3 (2n) - 1, b = 3 (2n-1) - 1 yc = 9 (22n) -1) - 1; entonces, si a, byc son números primos, 2nab y 2nc son amistosos. Esta regla produce 220 y 284 cuando n es 2. Cuando n es 3, c no es primo y los números resultantes no son amigables. Para n = 4, produce el par de Fermat, 17, 296 y 18, 416, omitiendo el par de Paganini y otros.

Otros científicos que han estudiado números amistosos a lo largo de la historia son el matemático español Al Madshritti (fallecido en 1007), el matemático islámico Abu Mansur Tahir al-Baghdadi (980-1037), el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650) y el matemático suizo Leonhard Euler. (1707-1783).

Los números amistosos no tienen ningún propósito práctico, pero tanto los profesionales como los aficionados han disfrutado durante siglos buscándolos y explorando sus propiedades.