Impacto. Platón es ahora mejor conocido como el principal representante de la filosofía idealista en Occidente y el fundador de la Academia, la primera universidad occidental. Sin embargo, se le reconoce con mucha menos frecuencia como un filósofo matemático (o matemático filosófico), aunque así es como hubiera preferido describirse a sí mismo.
Formularios. Su actividad puramente filosófica también influyó en la investigación científica griega, aunque esa influencia fue ciertamente mixta y no siempre alentadora. El idealismo de Platón en su conjunto tendió a devaluar el mundo de los sentidos como un reino inestable de continuo "llegar a ser" y "desaparecer". No es más que una pálida sombra del mundo real de las Formas. Sin embargo, si el mundo que percibimos es irreal, la investigación de los fenómenos naturales tiene, en consecuencia, menos valor e importancia que los esfuerzos por comprender las Formas ideales sobre las que se modelan las cosas de nuestro mundo. La verdad no se encuentra en el mundo visible sino en el inteligible y se debe acceder a ella por la razón y no por la experiencia sensorial. ¿Por qué perder el tiempo usando los sentidos imperfectos para aprender más sobre un mundo que en última instancia es una ilusión?
Parménides En su posición epistemológica, Platón claramente le debía mucho a Parménides, quien también rechazó los sentidos en favor de la lógica pura y abstracta. En estos términos, Platón juzgó el valor de una línea particular de investigación científica por cuánto descubrió patrones en el mundo natural que dirigían la mente hacia el reino ideal eterno del Ser inmutable. En su mayor parte, solo la geometría y la astronomía, ambas altamente matemáticas, parecían estar a la altura de este alto estándar. El énfasis aquí en las matemáticas también revela una influencia pitagórica en Platón.
Cosmología. Para comprender la ciencia platónica es fundamental el diálogo tardío conocido como Timaeus (circa 355 a 347 a. C.). Allí, Platón da lo que él llama una “historia plausible”, lo mejor que se puede ofrecer, dado que apunta a explicar el oscuro mundo de los sentidos. Específicamente, proporciona un relato de la disposición de todas las cosas en el mundo por un artesano divino o Demiurgo. (demiourgos). A diferencia del Dios de las tradiciones judeocristiana e islámica, el Demiurgo no es un creador en el sentido estricto de la palabra, ya que trabaja con materia preexistente. Además, ni siquiera es todopoderoso, ya que la materia misma puede resistir obstinadamente sus esfuerzos por formarla de una forma u otra. En cambio, es un dios que da forma, y que lo hace manteniendo un ojo fijo en las Formas eternas, que le proporcionan patrones para las cosas de este mundo. A partir de este punto de partida, y en forma de relato mítico que quizás no debería tomarse demasiado literalmente, Platón pasa a construir toda una cosmología. Tiene la intención de que sea lo más completo posible, combinando matemáticas, física, biología y fisiología en un sistema único y complejo.
Formas geométricas. Sus deudas con los pensadores griegos anteriores son bastante fáciles de identificar. De Empédocles tomó prestada la noción de que todas las sustancias se componen de las cuatro "raíces" básicas, tierra, agua, aire y fuego. Sin embargo, en un movimiento mucho más radical, y ciertamente con inspiración pitagórica, identificó a cada uno de estos cuatro con una forma geométrica sólida. El fuego es una figura de cuatro lados, o tetraedro, y se parece a una pirámide. La Tierra es un cubo y por lo tanto tiene seis lados. El aire es un octaedro o polígono de ocho lados. El último y más complejo elemento, finalmente, es el icosaedro de agua de veinte lados. La geometría griega, cuyos detalles exactos en el siglo anterior a Platón son, en el mejor de los casos, confusos,
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ya había determinado que estas cuatro formas, más una quinta, el dodecaedro (doce lados), son los únicos sólidos geométricos regulares.
Triangulos. Luego, Platón pasó a analizar cada una de estas formas aún más, es decir, en una combinación de uno u otro de dos tipos básicos de triángulos: el derecho y el equilátero. Dos triángulos isósceles rectos, por ejemplo, o cuatro equiláteros, pueden unirse para formar una cara de un cubo; el sólido entero en sí mismo, entonces, equivaldría a 6 x 4 o 24 triángulos. El elemento aire, identificado con un octaedro, se puede dividir en ocho de esos triángulos; el agua, el icosaedro, se compone de veinte.
Problema del cambio. Por extraña que pueda parecer esta teoría a los ojos modernos, tiene sentido e incluso tiene algunas fortalezas reconocibles dentro de la suya. Para empezar, marca un avance sobre Empédocles y los demás pluralistas, ya que reduce sus cuatro elementos a una sola realidad fundamental. Además, al analizar el fuego, el aire, el agua y la tierra en cuatro, ocho, veinte y veinticuatro triángulos, respectivamente, se soluciona un problema importante que el sistema Empedoclean deja sin resolver. Según Empédocles, cada una de las cuatro raíces es fundamental y básica, en el sentido de que no puede analizarse más. El aire, por ejemplo, no puede descomponerse en partes constituyentes más pequeñas, ni puede transformarse en ninguna otra cosa, a pesar de que la observación directa ofrece muchas pruebas de que el aire se condensa en agua y el agua se evapora en aire. ¿Cómo se pueden explicar estos simples cambios si cada una de las cuatro raíces mantiene permanentemente su propia forma?
Transformación. Los elementos compuestos de Platón, por el contrario, se pueden transformar fácilmente entre sí mediante la simple suma o resta de los triángulos de los que están hechos. Quite dos triángulos de la tierra, por ejemplo, y el resultado será fuego. Esto da como resultado una especie de química de combinaciones y proporciones similar a la que propuso Empédocles, pero que opera en un nivel mucho más fundamental. Además, el vago discurso de Empédocles de "cuatro partes de fuego, dos partes de agua, dos partes de tierra" como receta para la producción de "hueso", por ejemplo, ahora podría ser reemplazado por fórmulas matemáticas aparentemente más precisas, como la ofrece explicar cómo (un icosaedro de) agua cambia en el proceso de hervir en (dos octaedros de) aire y (un tetraedro de) fuego: 20 = [2 x 8} + 4.
Matemáticas y naturaleza. ¿Qué es quizás más importante de todo acerca de la explicación cosmológica en el Timaeus es el hecho de que completa el proyecto iniciado por los pitagóricos. En su creencia de que los números son la realidad básica, los pitagóricos habían buscado (tanto mística como matemáticamente) descubrir la estructura numérica oculta del mundo. En este sentido, matematizaron la naturaleza. El propio trabajo de Platón en el Timaeus lleva este proceso a su conclusión lógica identificando la realidad última con formas geométricas. Los primeros pensadores griegos eran materialistas: la "materia" fundamental del mundo siempre fue vista por ellos como precisamente eso - "materia" - es decir, como una entidad física. Aunque los cuatro elementos de Platón (tierra, aire, fuego y agua) son materiales, su sistema los redujo a las formas mucho más abstractas y no materiales de los triángulos. El mundo físico ahora podría construirse, descomponerse y rehacerse nuevamente combinando partes geométricas. Una vez logrado esto, las viejas preguntas de de qué está hecha la realidad y cómo sufre todos sus innumerables cambios parecían mucho más cerca de resolverse. Además, el idioma preferido en el que se iban a emitir respuestas aceptables a estas preguntas fue a partir de entonces decididamente el lenguaje de las matemáticas.