Una sección cónica es la curva plana formada por la intersección de un plano y un cono circular recto de dos capas. Dicho cono se muestra en la Figura 1.
El cono es la superficie formada por todas las líneas que pasan por un círculo y un punto. El punto debe estar en una línea, llamada eje, que es perpendicular al plano del círculo en el centro del círculo. Este punto se llama vértice y cada línea del cono se llama generatriz. Las dos partes del cono que se encuentran a cada lado del vértice son napas. Cuando el plano de intersección es perpendicular al eje, la sección cónica es un círculo (Figura 2).
Cuando el plano de intersección está inclinado y corta completamente a través de una de las napas, la sección es un óvalo llamado elipse (Figura 3).
Cuando el plano de intersección es paralelo a una de las generatrices, corta solo una nuca. La sección es una curva abierta llamada parábola (Figura 4).
Cuando el plano de intersección corta ambas napas, la sección es una hipérbola, una curva con dos partes, llamadas ramas (Figura 5).
Todas estas secciones son curvas. Sin embargo, si el plano de intersección pasa por el vértice, la sección será un solo punto, una sola línea, de un par de líneas cruzadas. Estas secciones son de menor importancia y se conocen como secciones cónicas "degeneradas".
Desde la antigüedad, los matemáticos han sabido que las secciones cónicas se pueden definir de formas que no tienen una conexión obvia con las secciones cónicas. Un conjunto de formas es el siguiente:
Elipse: el conjunto de puntos P tales que PF1 + PF2 es igual a una constante y F1 y F2 son puntos fijos llamados focos (Figura 6).
Parábola: El conjunto de puntos P tales que PD = PF, donde F es un punto fijo llamado foco y D es el pie de la perpendicular desde P a una línea fija llamada directriz (Figura 7).
Hipérbola: el conjunto de puntos P tales que PF1 - PF2 es igual a una constante y F1 y F2 son puntos fijos llamados focos (Figura 8).
Si P, F y D se muestran como en la Figura 7, entonces el conjunto de puntos P que satisface la ecuación PF / PD = e donde e es una constante, es una sección cónica. Si 0 <e <1, entonces la sección es una elipse. Si e = 1, entonces la sección es una parábola. Si e> 1, entonces la sección es una hipérbola. La constante e se llama excentricidad de la sección cónica.
Debido a que la relación PF / PD no cambia por un cambio en la escala utilizada para medir PF y PD, todos
las secciones cónicas que tienen la misma excentricidad son geométricamente similares.
Las secciones cónicas también se pueden definir analíticamente, es decir, como puntos (x, y) que satisfacen una ecuación adecuada. Una forma interesante de lograr esto es comenzar con un cono colocado adecuadamente en el espacio de coordenadas. Un cono con su vértice en el origen y con su eje coincidente con el eje z tiene la ecuación x2 + y2– kz2 = 0. La ecuación de un plano en el espacio es ax + by + cz + d = 0. Si
Si se usa la sustitución para eliminar z de estas ecuaciones y se combinan términos semejantes, el resultado es una ecuación de la forma Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 donde al menos uno de los coeficientes A, B y C será diferente de cero.
Por ejemplo, si el cono x2 + y2– z2 = 0 es cortado por el plano y + z– 2 = 0, los puntos comunes a ambos deben satisfacer la ecuación x2 + 4y– 4 = 0, que puede simplificarse mediante una traslación de ejes a x2 + 4y = 0. Como, en este ejemplo, el plano es paralelo a una de las generatrices del cono, la sección es una parábola (Figura 9).
Se puede seguir este procedimiento con otros planos que se cruzan. El plano z– 5 = 0 produce el círculo x2 + y2– 25 = 0. Los planos y + 2z– 2 = 0 y 2y + z– 2 = 0 producen la elipse 12x2 + 9y2– 16 = 0 y la hipérbola 3x2– 9y2 + 4 = 0 respectivamente (después de una traslación simplificadora de los ejes). Estos planos, mirando hacia abajo del eje x, se muestran en la Figura 10.
Como ilustran estos ejemplos, las secciones cónicas convenientemente colocadas tienen ecuaciones que se pueden poner en las siguientes formas:
Círculo: x2 + y2 = r2
Elipse: A2x2 + B2y2 = C2
Parabola: y = Kx2
Hipérbola: A2x2 - B2y2 = + C2
Las ecuaciones anteriores están "ubicadas adecuadamente". Cuando la ecuación no está en una de las formas anteriores, puede ser difícil saber exactamente qué tipo de sección cónica
representa la ecuación. Sin embargo, hay una prueba simple que puede hacer esto. Con la ecuación escrita Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, el discriminante B2– 4AC identificará qué sección cónica es. Si el discriminante es positivo, la sección es una hipérbola; si es negativo, la sección es una elipse; si es cero, la sección es una parábola. El discriminante no distinguirá entre una sección cónica adecuada y una degenerada como x2– y2 = 0; no distinguirá entre una ecuación que tiene raíces reales y una, como x2 + y2 + 1 = 0, que no las tiene.
Los estudiantes que estén familiarizados con la fórmula cuadrática reconocerán al discriminante y con razón. Tiene que ver con encontrar los puntos donde la sección cónica cruza la línea en el infinito. Si el discriminante es negativo, no habrá solución, lo cual es consistente con el hecho de que tanto los círculos como las elipses se encuentran completamente dentro de la parte finita del plano. Las parábolas conducen a una sola raíz y son tangentes a la línea en el infinito. Las hipérbolas conducen a dos raíces y la cruzan en dos lugares.
Las secciones cónicas también se pueden describir con coordenadas polares. Para hacer esto más fácilmente, uno usa las definiciones de foco-directriz, colocando el foco en el origen y la directriz en x = −k (en coordenadas rectangulares). Entonces la ecuación polar es r = Ke / (1− ecos θ) donde e es la excentricidad (Figura 11).
La excentricidad en esta ecuación es numéricamente igual a la excentricidad dada por otra relación: CF / CV, donde CF representa la distancia desde el centro geométrico de la sección cónica hasta el foco y CV la distancia desde el centro hasta el vértice. En el caso de un círculo, el centro y los focos son iguales; entonces CF y la excentricidad son ambos cero. En el caso de la elipse, los vértices son puntos finales del eje mayor, por lo tanto, más lejos del centro que los focos. Por lo tanto, CV es mayor que CF y la excentricidad es menor que 1. En el caso de la hipérbola, los vértices se encuentran en el eje transversal, entre los focos, por lo que la excentricidad es mayor que 1. En el caso de la parábola, el El "centro" está infinitamente lejos tanto del foco como del vértice; entonces (para aquellos que tienen una buena imaginación) la relación CF / CV es 1.
Términos clave
Sección cónica- Figura que resulta de la intersección de un cono circular recto con un plano. Las secciones cónicas son el círculo, elipse, parábola e hipérbola.
Directora- Una línea que, junto con un foco, determina la forma de una sección cónica.
Excentricidad- La relación centro a foco / centro a vértice en una sección cónica; o, la relación distancia-enfoque / distancia-directriz, que es la misma para todos los puntos de una sección cónica. Estas dos definiciones son matemáticamente equivalentes.
Atención- Un punto, o uno de un par de puntos, cuya posición determina la forma de una sección cónica.
Recursos
Libros
Finney, Ross L. y col. Cálculo: gráfico, numérico, algebraico de una sola variable. Reading, MA: Addison Wesley Publishing Co., 1994.
Gullberg, Jan y Peter Hilton. Matemáticas: desde el nacimiento de los números. WW Norton & Company, 1997.
Otras Opciones
Sellers, James A. "Introducción a las secciones cónicas" Instituto Krell. (consultado el 7 de octubre de 2006).
J. Paul Moulton